1.4.1. Geschlossene Systeme - Einleitung

Neben einfachen Leitungen zum Transport von Gasen oder Flüssigkeiten finden sich in der Natur und Technik geschlossene kreisförmige Systeme, in denen ein Strom, angetrieben von einer Pumpe, im Kreis herumströmt und dabei durch einen Widerstand oder durch einen Energieumwandler gedrückt wird.
Solche geschlossenen Strömungssysteme sind überwiegend nicht mit Gas, sondern mit einer Flüssigkeit gefüllt. Der Blutkreislauf bei Säugetieren ist ein Beispiel aus der Biologie, die Warmwasserheizung ein Beispiel aus der Technik.
Elektrische Geräte oder Anlagen weisen stets eine solche kreisförmige Struktur auf, bei denen Ladungsträger einen in sich geschlossenen elektrischen Stromkreis bilden. Um den Zugang zu solchen eher abstrakten elektrischen Systemen zu erleichtern, wird im folgenden ein solches kreisförmiges Systeme anhand eines leichter zugänglichen mechanischen Beispiels behandelt.

Ein geschlossenes System mit Hinleitung, Rückleitung und Abschlußwiderstand
(vorbereitete Simulation: 1-4-0-Grundzustand.xml)

Als kreisförmiges System wird eine sehr einfache, symmetrische Anordnung betrachtet, eine sogenannte Doppelleitung, bei der eine Pumpe durch zwei gerade, parallele und dünne Leitungen mit einem Abschlußwiderstand verbunden wird. Außerdem wird angenommen, dass nur relativ kleine Stromstärken vorkommen, so dass Turbulenzen ausgeschlossen sind. Nur für ein solches einfaches System existiert eine mathematische Theorie, die es erlaubt, Stromstärke I und Druckunterschied ΔP in Abhängigkeit des Ortes und der Zeit anzugeben.

1.4.2. Druck und Strömung in einer Doppelleitung

In einer Doppelleitung wird ein Strom (linke Abbildung) oder ein Puls (rechte Abbildung) erzeugt, in dem die Pumpe entweder kontinuierlich oder nur kurzzeitig Materie von einer Zuleitung zur anderen befördert. Um dies zu erreichen, muß die Pumpe eine Druckdifferenz zwischen ihren beiden Ausgängen aufrecht erhalten und zwar einen erhöhten Druck P₁ auf der zum Abschluß hinführenden und einen verringerten Druck P₂ auf der zur Pumpe rückführenden Leitung.

links: Druck und Stromangaben für einen startenden Strom
rechts: für einen Puls
jeweils auf einer Doppelleitung

In der Rückleitung entsteht eine zur Pumpe hin gerichtete Strömung und in der hinführenden Leitung eine von der Pumpe weg gerichtete Strömung. Aufgrund der Symmetrie der Anlage sind diese Größen (Druckunterschied zum Normaldruck und Stromstärke) für einen bestimmte Ortskoordinate x und zu einem gegebenen Zeitpunkt bis auf das Vorzeichen gleich groß.
Üblicherweise wird für eine Doppelleitung die Druckdifferenz sowie der Strom auf die hinführende Leitung bezogen. Druckdifferenz und Strom in der rückführenden Leitung sind dann betragsmäßig gleich groß, weisen aber jeweils das entgegengesetzte Vorzeichen auf.

1.4.3. Ausbreitung eines Pulses in einer Doppelleitung

Ein durch die Pumpe erzeugter Puls bewege sich von der Pumpe weg d.h.auf der Abbildung nach rechts. Dieser Übertragungsprozess kann in der gleichen Weise interpretiert werden, wie bei einem Puls auf einer Einzelleitung.
Sowohl ΔP als auch I breiten sich zu beiden Seiten aus, heben sich auf einer Seite gegenseitig auf und verstärken sich auf der anderen Seite. Als Resultat der Überlagerung ergibt sich eine reine Verschiebung des Pulses ohne Änderung der Form.

A: Ausgangssituation: Zwei Pulskomponenten und ein kompletter Pulse
B: Situation nach wenigen Zeitschritten: Ausbreitung zu beiden Seiten
und Verschiebung des Pulses ohne Änderung der Form

Mit Hilfe der folgenden Simulation kann dieser Vorgang im einzelnen nachvollzogen werden. Dabei ist es ratsam, die Simulation mit der Schritttaste zu aktivieren.

Verschiebung bzw. Ausbreitung eines Pulses und seiner Komponenten
(vorbereitete Simulation: 1-4-3-Puls-mit Komponenten.xml)

1.4.4. Reflexion eines Pulses an einem Abschlußwiderstand mit R =∞

Die folgende Abbildung zeigt einen Puls, der sich auf die offenen Enden einer Doppelleitung zu bewegt.

Links: Ein Puls bewegt sich in Richtung
auf das offene Ende einer Doppelleitung zu
Recht: Druckverhältnis im Augenblick der Reflexion

Durch den unendlich großen Abschlußwiderstand wird die Driftbewegung gestoppt und es wird eine Zone erhöhten Drucks (auf der hinführenden Leitung, aber reduzierten Drucks auf der Rückleitung) vor dem Abschlußwiderstand aufgebaut.
In dem Augenblick, in dem die Driftbewegung zum Stillstand gekommen ist, ist eine Situation erreicht, die im Kapitel "1.2. 5. Eine Zone erhöhten Drucks und ihre Veränderung in der Zeit" behandelt wurde. Es existiert eine Zone erhöhten Drucks ohne Driftbewegung, die sich nach beiden Seiten ausbreitet. Die Ausbreitung nach rechts in Richtung des Abschlußwiderstandes ist jedoch blockiert und somit wird dieser Anteil vollständig reflektiert. Als Ergebnis wird der gesamte Puls ohne Formänderung reflektiert.
Die Simulation zeigt den Ablauf dieses Reflexionsprozesses.

Reflexion eines Pulses an einem Abschlußwiderstand mit R = ∞
(vorbereitete Simulation: 1-4-4-Puls-mit-Komponenten.xml)

1.4.5. Reflexion einer Stromflanke an einem Abschlußwiderstand mit R =∞

Die folgende Abbildung zeigt die Flanke eines kontinuierlichen Stromflusses, die sich auf das offene Ende einer Doppelleitung zu bewegt.

Links: Eine Stromflanke bewegt sich in Richtung
auf das offene Ende einer Doppelleitung zu
Rechts: Druck- und Strömungsverhältnisse im Augenblick der Reflexion

Die driftenden Teilchen werden vor dem Abschlußwiderstand abgestoppt, wodurch sich eine Zone erhöhten Drucks ergibt. Die so entstandene Flanke mit dem Verhältnis ΔP₁ / -ΔI₁ bewegt sich zurück zur Pumpe wodurch der gesamte Strom zum Stellstand kommt.
Die Simulation zeigt diesen Reflexionsvorgang.

Simulation der Bewegung einer Stromflanke auf
einer Doppelleitung mit dem Abschlußwiderstand R = ∞
(vorbereitete Simulation: 1-4-5-Stromflanke-R-unendlich.xml)

1.4.6. Reflexion eines Pulses an einem Abschlußwiderstand mit R=0

Die folgende Abbildung zeigt einen Puls, der sich auf die direkt verbundenen Abschlüsse einer Doppelleitung zu bewegt.

Links: Ein Puls bewegt sich in Richtung
der direkt verbundenen Enden einer Doppelleitung
Recht: Druck- und Stromverhältnisse im Augenblick der Reflexion
(vorbereitete Simulation: 1-4-6-Puls-R-Null.xml)

Trifft der Puls auf das kurzgeschlossene Ende der Doppelleitung mit R = 0, so wird der Druckunterschied auf den Leitungen ausgeglichen. Dieser Druckausgleich wirkt sich beschleunigend auf die Driftbewegung der Teilchen aus und erhöht kurzfristig deren Driftgeschwindigkeit.
Die Situation in der Mitte des Reflexionsvorgangs entspricht derjenigen, die in dem Kapitel "1.2.6. Eine Zone mit driftenden Teilchen und ihre Veränderung in der Zeit" behandelt wurde. Der Strompuls (ohne ΔP) am kurzgeschlossenen Ende der Doppelleitung breitet sich nach beiden Seiten hin aus und führt zu einem rücklaufenden Puls mit entgegengesetzten Vorzeichen für ΔP und I.

1.4.7. Reflexion einer Strömung an einem Abschlußwiderstand
mit R=0

Die folgende Abbildung zeigt eine einsetzende Strömung, die sich auf die direkt verbundenen Abschlüsse einer Doppelleitung zu bewegt (R = 0).

Links: Bewegung einer Strömungsflanke in Richtung
des kurzgeschlossenen Abschlusses einer Doppelleitung
Rechts: Druck- und Stromverhältnisse im Augenblick der Reflexion
(vorbereitete Simulation: 1-4-7-Stromflanke-R-Null.xml)

Trifft eine Strömungsflanke, die von einer startenden Pumpe erzeugt wurde, auf das kurzgeschlossene Ende einer Doppelleitung, so werden an dieser Stelle die Druckunterschiede auf beiden Leitungen ausgeglichen. Dieser Druckausgleich wirkt sich beschleunigend auf die dort driftenden Teilchen aus und erhöht deren Driftgeschwindigkeit.
Das dadurch bewirkte geänderte Verhältnis von ΔP/I ergibt eine zur Pumpe zurücklaufende Strömungsflanke.

1.4.8. Abschlußwiderstand ohne Reflexion

Die Größe des Abschlußwiderstandes einer Doppleleitung kann derart gewählt werden, dass das Verhältnis ΔP/I eines Pulses beim Auftreffen nicht verändert wird. Das bedeutet, dass während des Auftreffens der Druckunterschied zwischen den Leitungen sowie die Driftgeschwindigkeiten proportional reduziert oder ausgeglichen werden. Ein solcher Abschlußwiderstand bewirkt somit keine Reflexion.

Links: Bewegung einer Strömungsflanke in Richtung
eines reflexionsfreien Abschlusses einer Doppelleitung
Rechts: Druck- und Stromverhältnisse nach dem Auftreffen
(vorbereitete Simulation: 1-4-8-Stromflanke-R-50-Ohm .xml)

Die Simulation zeigt diesen Vorgang. Sie zeigt ebenfalls den Fall einer partiellen Reflexion, sofern der Abschlußwiderstand eine Änderung des Verhältnisses von ΔP/I der eintreffenden Strömungsflanke bewirkt.

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