Fachdidaktik Physik
vom Feinsten

Urgröße und Ersatzgröße.
Areal und Volumen

In diesem Abschnitt geht es um eine der wichtigsten Fragen, die sich beim Umgang mit dem Größenkalkül stellen: Was bedeutet das Produkt zweier Größen, was bedeutet z.B. "Länge mal Länge gleich Fläche", A = l •l = l² ?

Was man selten bis kaum in Lehrbüchern findet, wird hier in aller Deutlichkeit ausgedrückt. Die Fläche ist eine Eigenschaft sui generis und kann unter keinen Umständen in irgend einer Form von irgend etwas abgeleitet werde, auch nicht von dem Produkt "Länge mal Länge". Weninger bezeichnet die Fläche als "Urgröße" und kennzeichnet diese Eigenschaft als Flächenbedeckung A⁺(R) (Rechteck R).

Er zeigt in einer ausführlichen Ableitung, dass das rein formal bzw. mathematisch gebildete Produkt "5 m • 3 m = 15 m • m = 15 m² " keinesfalls gleich, sondern nur proportional zu der Fläche A⁺(R) ist (Weninger nennt sie "Areal"), die durch die beiden Strecken 5 m und 3 m aufgespannt wird. Er kennzeichnet diese Größe als A(R), nennt sie eine "Ersatzgröße", mit der dann im Größenkalkül gerechnet wird.
Weninger geht dann noch einen Schritt weiter. Durch die Einführung einer Konstanten bildet er eine Gleichung wie: A⁺(R₁) = k₁ • l(A₁) • l(B₁) oder in sachklassengebundener Form A⁺(R) = k₁ • l(A) • l(B). Dann faßt er die Urgröße A⁺(R) und die Konstante k₁ zusammen und erhält die Gleichung (1/k₁) • A⁺(R) = l(A) • l(B).
Das auf der linken Seite stehende Produkt wird konventionell als A gekennzeichnet. Diese Größe geht in den Größenkalkül ein als eine Größe, die nur proportional zu der Urgröße A⁺ (R) ist, aber nicht die Urgröße selbst darstellt.

In wie weit diese Umformung zu einer Gleichung durch Einführung einer Konstanten besonders für Schüler erkenntniserschließend ist, sei dahingestellt und wird die Praxis erweisen. Wichtig ist zu betonen, dass im Größenkalkül nur mit mathematischen Konstrukten, sogenannten «Ersatzgrößen» gearbeitet wird, die nur proportional zu den eigentlichen Größen, aber die nicht die Größen, die Urgrößen, selbst sind.

Die gleichen Überlegungen wie bei der Fläche werden auch bei der Größe "Volumen" angestellt, wo es ja oft heißt: V = l • b• h. Wiederum wird klargestellt, dass es sich bei einem Volumen um eine Eigenschaft sui generis handelt, die in keiner Weise anschaulich auf das Produkt dreier Längen zurückgeführt werden kann. Wiederum gilt: die Urgröße V⁺(Q) ist proportional zu l (A) • l (B) • l (C) (Q: Quader; A B, C: Kanten des Quaders).

Die Größe V(Q) = l(A) • l(B) • l(C) ist eine Ersatzgröße für das Volumen und nur mit dieser Ersatzgröße wird im Größenkalkül gerechnet, nicht mit der Urgröße selbst.
Weninger fordert selbstverständlich, diesen Sachverhalt, den Unterschied zwischen Urgröße und Ersatzgröße, den Schüler verständlich zu machen, bevor man mit dem eigentlichen Größenkalkül beginnt. Wie dies zu bewerkstelligen ist und wie oft diese Klarstellung wiederholt und eingeübt werden muß, muß die Praxis erweisen.

Man kann aber vermuten, dass diejenigen Schüler, die meinen, direkt mit Urgrößen zu rechnen, entweder alle Arbeitsschritte durch Auswendiglernen meistern oder beim Nachdenken an Lern- oder Verständnisbarrieren stoßen.
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Abschnitt 13: